From Zero to Infinity——阿列夫零的前世今生（一）

 在高中学习集合时，有限集可以通过集合中元素的个数来判断元素的多少，那么两个无限集之间应该如何判断所含元素的多少呢？

       比如：

       1. 自然数集和正整数集的元素个数，哪个更多？

       2. 正整数集和正偶数集的元素个数，哪个更多？

       3. 一条直线上的点构成的集合，和一个圆上的点构成的集合的元素个数，哪个更多？

       从有限的维度来理解，感觉上好像自然数比正整数多了个0，正整数的个数是正偶数的个数的2倍，但这些感觉其实都有问题。同样第三个问题中，一条直线的长度是无限的，圆的周长是有限的，所以感觉上直线上的点比圆上的点更多，但这个感觉同样有问题，事实上它们的个数是一样多的。

       震惊了？不要慌，问题的关键点其实在于：无限数怎么比大小？

      “朝三暮四”故事中早上4个栗子晚上3个栗子猴子就会不高兴，反过来，早上3个栗子晚上4个栗子就没问题，为什么呢？因为在故事中猴子无法数到5，所以无法计算“3+4”和“4+3”，但是可以分辨4个比3个多。猴子采用的方法有可能仍然是数数，3和4同时开始数，最后4还剩1，显然4个栗子就显得比较多。

       这个方法实质上是4个栗子中前3个与3个栗子一一对应，剩下的自然就多出来的。如果都能一一对应，那自然是一样多的。

PS：根据现代研究，猴子至少可以数到9。

PPS：“朝三暮四”在现代成语也不再是取笑猴子不会数数的意思了。

       那让我们回到问题1，同样可以给出如下的对应关系。

       通过这种对应关系，我们可以看出，所有自然数经过“+1”的一一对应关系后构成新的集合就是“正整数集”，可以看出自然数集和正整数集的元素个数应该是一样多。

       那么，对于问题2和3，我们姑且先卖个关子，下次再来讲解。

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