万有引力理论的辉煌成就

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一条定律被认可，不仅需要严谨的逻辑自洽，还需要经得住实践的检验。

而万有引力定律不仅得到了月-地检验，而且据此还发现了太阳系第八大行星——海王星以及预言了哈雷彗星的回归。牛顿还用它解释了潮汐现象等等。时至今日，上千颗人造地球卫星正在按照万有引力定律为它们“设定”的轨道绕地球运转着。

除此之外，还能用万有引力定律干些什么呢？

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如果有人问你有多重，你会走到电子秤上去称一称，然后告诉他。如果有人问你地球的质量是多少，你该怎么办呢？

你可能会想起阿基米德的名言“给我一个支点，我能撬动整个地球”，然而却并不能解决问题。

地球的质量虽然不能利用杠杆原理用秤去称量，但却可以通过万有引力定律计算得到。

若不考虑地球自转的影响，地面上质量为 m 的物体所受的重力 mg 等于地球对物体的引力，即

解得

上式中，重力加速度g可以通过自由落体运动测得，而地球的半径R早在公元前3世纪就被测量了出来，因此，只要知道了引力常量G，就能求出地球的质量。

你是不是以为求G会非常简单？因为只需要根据万有引力公式，测量出两个物体之间的质量、间距以及引力大小，G自然就得到了。这你就想的太简单了。

实际上，引力常量的测量却是异常艰难，这是因为一般物体之间的引力非常小，而且无法屏蔽其他物体引力的影响，很难用实验的方法测量。直到牛顿发现万有引力定律100多年之后，才由英国物理学家卡文迪什首次用扭秤的方法测量得到。

卡文迪什实验示意图

一旦测得引力常量 G，就可以算出地球的质量。因此，卡文迪什把他的实验说成是“称量地球的质量”。卡文迪什之后又测量了多种物体间的引力，所得结果与利用引力常量G按万有引力定律计算所得的结果相同，因此又有力证明了万有引力定律的正确性。

卡文迪什的实验开启了测量引力常量的大门。两百多年来，科学家们用各种不同的方法来更加精确地进行测量，但即使到了今天，在我们已知的自然界的基本常量中，引力常量仍然是测得最不精确、了解最少的一个。

目前，引力常量是由国际科技数据委员会（CODATA）汇总世界上各个实验组的G值测量结果并给出推荐值。目前推荐的标准值G=6.67259×10⁻¹¹N·m²/kg²，通常取G=6.67×10⁻¹¹N·m²/kg²。我国华中科技大学引力中心团队在引力常量的测量中作出了突出贡献，于2018年得到了当时最精确的G值。

能用“称量”地球质量的方法“称量”太阳吗？

根据“称量”地球质量的经验，我们就需要知道太阳的半径以及太阳表面的重力加速度。然而我们无法到达太阳，因此也没有办法直接测量太阳表面的重力加速度，所以这种方法行不通。

那应该如何解决呢？

我们换一种思路，行星绕太阳做匀速圆周运动，向心力是由它们之间的万有引力提供的，由此可以依据万有引力定律和牛顿第二定律列出方程，从中解出太阳的质量。

因此，测出行星的公转周期 T 和它与太阳的距离 R，就可以算出太阳的质量。行星的公转周期可以通过天文观测得到；行星与太阳的距离也可以通过几何等方法测得。

这里的行星我们可以用地球，也可以用火星、木星等其他行星。因为根据开普勒第三定律，选择哪颗行星进行计算，所得的太阳质量都是相同的。

由此，我们把太阳换做其他中心天体，只要知道该中心天体的卫星绕其运动的周期和它与卫星之间的距离，就可以算出中心天体的质量。因此，观测人造地球卫星的运动，成了目前测量地球质量的重要方法之一。

牛顿在他的《自然哲学的数学原理》中曾设想：把物体从高山上水平抛出，速度一次比一次大，落地点也就一次比一次远；抛出速度足够大时，物体就不会落回地面，成为人造地球卫星。这就是著名的“牛顿大炮”设想，而如今，人类一系列的航天发射早已将牛顿的设想变为了现实。

我们可以通过万有引力定律和牛顿第二定律来求得使物体不会落回地面的速度。

假设让人造卫星绕地球做匀速圆周运动，则万有引力提供向心力，所以

由此解出

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引力常量G和地球的质量M我们已经知道，而近地卫星的高度远小于地球的半径，可以近似用地球半径代替，因此可以求得v=7.9 km/s。这就是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的速度，叫作第一宇宙速度，也叫做环绕速度。

当卫星发射速度小于v时，卫星最终会落到地球的表面。

当卫星发射速度等于v时，卫星将围绕地球做匀速圆周运动。

当卫星发射速度大于v时，卫星将围绕地球做椭圆运动。

但是当卫星发射速度大于√2v（11.2km/s）时，卫星将克服地球的引力，永远离开地球。我们把11.2km/s叫做第二宇宙速度，也叫逃逸速度。逃逸速度是环绕速度的√2倍，即

这个关系对于其他天体也是正确的。由此可知，天体的质量越大，半径越小，逃逸速度也就越大。如果一颗天体的半径小到连光也逃逸不出来，就形成了黑洞，此时天体半径要满足

模拟黑洞

我们回到卫星的发射。当卫星发射速度再大，以至于逃脱了太阳的引力束缚后，就会奔向太阳系之外的宇宙太空。而使卫星脱离太阳引力的最小速度就叫做第三宇宙速度，为16.7km/s。

人造卫星按照运行轨道不同分为低轨道卫星、中高轨道卫星、地球同步卫星、太阳同步卫星、大椭圆轨道卫星和极轨道卫星等。

例如我国的北斗卫星导航系统的空间段就是由若干地球静止轨道卫星、倾斜地球同步轨道卫星和中圆地球轨道卫星组成的。

北斗卫星导航系统

卫星在轨期间自主改变运行轨道的过程称为变轨。卫星变轨的原因很多，有一种是在卫星发射时，为了节省发射火箭燃料，可以先发射到大椭圆轨道，卫星处于远地点的时候，卫星上面的姿态调整火箭点火，这样卫星的轨道就可以达到所需的高度。

例如，在发射同步卫星时，通常先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，然后在近地点点火加速，使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ；卫星运行到远地点时进行第二次点火加速，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动。

模拟地球同步卫星变轨过程

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万有引力定律除了在宇宙探索中有着至关重要的作用，还可用于于分析地球表面重力加速度微小差异的原因，以及指导重力探矿等。

万有引力定律取得了如此辉煌的成就，以至于阿波罗 8 号从月球返航的途中，当地面控制中心问及“是谁在驾驶”的时候，宇航员回答：“我想现在是牛顿在驾驶。”

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