From Zero to Infinity——阿列夫零的前世今生(一)

2022/9/6 19:24:23 矩道科技 市场动态

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 在高中学习集合时,有限集可以通过集合中元素的个数来判断元素的多少,那么两个无限集之间应该如何判断所含元素的多少呢?

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       比如:

       1. 自然数集和正整数集的元素个数,哪个更多?

       2. 正整数集和正偶数集的元素个数,哪个更多?

       3. 一条直线上的点构成的集合,和一个圆上的点构成的集合的元素个数,哪个更多?



不会数数?数钱总会吧?

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       从有限的维度来理解,感觉上好像自然数比正整数多了个0,正整数的个数是正偶数的个数的2倍,但这些感觉其实都有问题。同样第三个问题中,一条直线的长度是无限的,圆的周长是有限的,所以感觉上直线上的点比圆上的点更多,但这个感觉同样有问题,事实上它们的个数是一样多的。



       震惊了?不要慌,问题的关键点其实在于:无限数怎么比大小?


      “朝三暮四”故事中早上4个栗子晚上3个栗子猴子就会不高兴,反过来,早上3个栗子晚上4个栗子就没问题,为什么呢?因为在故事中猴子无法数到5,所以无法计算“3+4”和“4+3”,但是可以分辨4个比3个多。猴子采用的方法有可能仍然是数数,3和4同时开始数,最后4还剩1,显然4个栗子就显得比较多。


栗子太少的话,为什么不吃香蕉呢?

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       这个方法实质上是4个栗子中前3个与3个栗子一一对应,剩下的自然就多出来的。如果都能一一对应,那自然是一样多的。


PS:根据现代研究,猴子至少可以数到9。


PPS:“朝三暮四”在现代成语也不再是取笑猴子不会数数的意思了。

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       那让我们回到问题1,同样可以给出如下的对应关系。




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       通过这种对应关系,我们可以看出,所有自然数经过“+1”的一一对应关系后构成新的集合就是“正整数集”,可以看出自然数集和正整数集的元素个数应该是一样多。

       那么,对于问题2和3,我们姑且先卖个关子,下次再来讲解。

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作者|零醇老师


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