1925年，埃尔温·薛定谔和维尔纳·海森堡独立制定了一个通用的量子理论。乍一看，这两种方法似乎有所不同，因为海森堡的方法是用矩阵表示的，而薛定谔的方法是用偏微分方程表示的。然而，仅仅一年后，薛定谔就证明了这两个公式在数学上是等价的。
有趣的是，海森堡在研究时不知道矩阵是什么，是独立发现的矩阵工具及其运算法则，之后由另一位物理学家波恩意识到了这是数学中早就存在的工具。
这个理论的基础在日后被称为薛定谔方程，通过对薛定谔方程的求解①，我们会得到关于原子核外电子的位置x的函数ψ (x)，在此之中，我们可以得到三个量子数：
（1）主量子数n=1，2，3，4，5，6，7…，相当于通常所说的电子层数，分别用K、L、M、N、O、P、Q…来标记，决定着核外电子的能量，主量子数越大，能量越高；
只需要看一下原子在第几周期就可以价电子的主量子数
（2）对于任一指定的主量子数n，存在角量子数l=0，1，2，3，…，n-1，每一个l的值对应一个电子排布的亚层，主要决定着电子云的形状，l=0，1，2，3，…的亚层分别称为s、p、d、f、…亚层；
（3）对于任一指定的l，存在磁量子数m=0，±1，±2，±3，…，±l，决定着电子云的空间伸展方向，一个亚层有(2l+1)个磁量子数，就有2n+1个轨道②。
另外，还存在一个自旋磁量子数ms=±1/2，它不是由薛定谔方程解出。
因为粒子的波粒二象性，其运动轨迹无法被预知，因此对于ψ (x)的物理含义一直有着不同的解释。德国物理学家波恩给出解释为：|ψ (x)|2代表着粒子在x处出现的概率，该解释直到今天都被广泛认可。
不打开这个盒子，猫就是概率弥散在盒子里面
在该解释中，核外电子的原子轨道不再是连续的图案，而是一团弥散在原子核周围的电子云。如果只关心电子云的形状，一般取一个能将电子总概率90%包围在内的等概率密度面。就像如果只关心洋葱的形状，那么只要取洋葱的某一层就足以了解。
具体的电子概率还是要通过ψ (x)来确定，一般来说，常见的电子云形状s轨道为球形，p轨道为哑铃形（纺锤形），d轨道为十字花瓣形。
这是当主量子n=1时，角量子数l=0，磁量子数m=0时，对应轨道命名为1s的电子云形状。
当主量子n=2时，角量子数l有0和1两种取值，当取l=0时，磁量子数m=0，对应轨道命名为2s的电子云形状与1s类似，半径要更大。
如果在n=2时，取l=1，磁量子数m就会存在0和±1三种取值，带入薛定谔方程后，我们将得到如下2px、2py、2pz轨道的电子云形状。
2px、2py、2pz轨道的电子云形状相同，只是在空间上的取向不一样。
类似地，当n=3时，若取l=2，磁量子数m就会存在0、±1、±2五种取值，带入薛定谔方程后，我们将得到如下3dxy、3dyz、3dxz、3dx²-y²、3dz²轨道的电子云形状。
备注：
①由于薛定谔方程的偏微分形式，其推导过程与解法需要微积分的知识，有兴趣了解的同学可以翻阅《Physical Chemistry：A Molecular Approach》一书；
②严格来讲，并非是每一个m对应一个电子轨道，除了m=0以外，其他的一对m为相反数的轨道将线性组合成新的一对轨道，比如n=2，l=1，m=0对应的是2pz轨道，2px和2py轨道则是由m=±1的轨道线性组合而来，只是前后轨道数目不变。
上海矩道网络科技有限公司（简称“矩道科技”）是一家以“让教育多一个维度”为愿景的高新技术企业。公司致力于3D互动教学系统、虚拟现实VR教学软件系统的研发、应用与市场拓展。专注于虚拟仿真在常态化教学中的应用与推广。截止2021年底，矩道科技已服务千余所学校。
我们希望：每个学生都拥有属于自己专业而安全的VR/3D实验室。
END